π
=
σ
υ
ν
−
1
(
−
1
)
≃
3
,
141592653589793238462643...
{\displaystyle \pi =\sigma \upsilon \nu ^{-1}{\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}\simeq 3,141592653589793238462643...}
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
≃
2
,
718281828459045235360287...
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\begin{pmatrix}1+{\frac {1}{n}}\end{pmatrix}}^{n}\simeq 2,718281828459045235360287...}
e: βάση των φυσικών λογαρίθμων.
2
=
2
1
2
≃
1
,
4142135623730950488...
{\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}\simeq 1,4142135623730950488...}
3
=
3
1
2
≃
1
,
7320508075688772935...
{\displaystyle {\sqrt {3}}=3^{\frac {1}{2}}\simeq 1,7320508075688772935...}
5
=
5
1
2
≃
2
,
2360679774997896964...
{\displaystyle {\sqrt {5}}=5^{\frac {1}{2}}\simeq 2,2360679774997896964...}
2
3
=
2
1
3
≃
1
,
259921050...
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=2^{\frac {1}{3}}\simeq 1,259921050...}
3
3
=
3
1
3
≃
1
,
442249570...
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}=3^{\frac {1}{3}}\simeq 1,442249570...}
2
5
=
2
1
5
≃
1
,
148698355...
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}=2^{\frac {1}{5}}\simeq 1,148698355...}
3
5
=
3
1
5
≃
1
,
245730940...
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{3}}=3^{\frac {1}{5}}\simeq 1,245730940...}
e
π
≃
23
,
140692632779269006...
{\displaystyle e^{\pi }\simeq 23,140692632779269006...}
π
e
≃
22
,
45915771836104547342715...
{\displaystyle \pi ^{\mbox{e}}\simeq 22,45915771836104547342715...}
e
e
≃
15
,
154262241479264190...
{\displaystyle e^{\mbox{e}}\simeq 15,154262241479264190...}
l
o
g
10
2
=
l
n
2
l
n
10
≃
0
,
3010299956639811952137389...
{\displaystyle log_{10}2={\frac {ln2}{ln10}}\simeq 0,3010299956639811952137389...}
l
o
g
10
3
=
l
n
3
l
n
10
≃
0
,
4771212547196624372950279...
{\displaystyle log_{10}3={\frac {ln3}{ln10}}\simeq 0,4771212547196624372950279...}
l
o
g
10
e
=
l
n
e
l
n
10
=
1
l
n
10
≃
0
,
43429448190325182765...
{\displaystyle log_{10}e={\frac {lne}{ln10}}={\frac {1}{ln10}}\simeq 0,43429448190325182765...}
l
o
g
10
π
=
l
n
π
l
n
10
≃
0
,
4971498726941338543512683...
{\displaystyle log_{10}\pi ={\frac {ln\pi }{ln10}}\simeq 0,4971498726941338543512683...}
l
n
10
≃
2
,
302585092994045684017991...
{\displaystyle ln10\simeq 2,302585092994045684017991...}
l
n
2
≃
0
,
693147180559945309417232...
{\displaystyle ln2\simeq 0,693147180559945309417232...}
l
n
3
≃
1
,
098612288668109691395245...
{\displaystyle ln3\simeq 1,098612288668109691395245...}
γ
=
lim
n
→
∞
(
n
∑
i
=
1
1
n
−
l
n
n
)
≃
0
,
577215664901532860606512...
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\begin{pmatrix}{\begin{matrix}n\\\sum \\i=1\end{matrix}}{\frac {1}{n}}-lnn\end{pmatrix}}\simeq 0,577215664901532860606512...}
e
γ
≃
1
,
7810724179901979852...
{\displaystyle e^{\gamma }\simeq 1,7810724179901979852...}
e
=
e
1
2
≃
1
,
6487212707001281468...
{\displaystyle {\sqrt {e}}=e^{\frac {1}{2}}\simeq 1,6487212707001281468...}
π
=
π
1
2
=
Γ
(
1
2
)
≃
1
,
772453850905516027298167...
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}=\pi ^{\frac {1}{2}}=\Gamma {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\simeq 1,772453850905516027298167...}
Γ
(
1
3
)
≃
2
,
678938534707748...
{\displaystyle \Gamma {\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\simeq 2,678938534707748...}
Γ
(
1
4
)
≃
3
,
625609908221908...
{\displaystyle \Gamma {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\simeq 3,625609908221908...}
1
r
a
d
=
180
o
π
≃
57
,
29577951308232...
o
{\displaystyle 1\;rad={\frac {180^{o}}{\pi }}\simeq 57,29577951308232...^{o}}
1
o
=
π
180
r
a
d
≃
0
,
0174532925199432957...
r
a
d
{\displaystyle 1^{o}={\frac {\pi }{180}}\;rad\simeq 0,0174532925199432957...\;rad}
Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για
2
≤
n
≤
6
{\displaystyle 2\leq n\leq 6}
.
(
α
+
β
)
2
=
α
2
+
2
α
β
+
β
2
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}
Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
2
=
α
2
−
2
α
β
+
β
2
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}}
Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
3
=
α
3
+
3
α
2
β
+
3
α
β
2
+
β
3
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}+3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}}
Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
3
=
α
3
−
3
α
2
β
+
3
α
β
2
−
β
3
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}}
Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
4
=
α
4
+
4
α
3
β
+
6
α
2
β
2
+
4
α
β
3
+
β
4
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}+4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}+4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}}
Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
4
=
α
4
−
4
α
3
β
+
6
α
2
β
2
−
4
α
β
3
+
β
4
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}-4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}}
Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
5
=
α
5
+
5
α
4
β
+
10
α
3
β
2
+
10
α
2
β
3
+
5
α
β
4
+
β
5
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}+5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}+10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}+\beta ^{5}}
Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
5
=
α
5
−
5
α
4
β
+
10
α
3
β
2
−
10
α
2
β
3
+
5
α
β
4
−
β
5
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}-5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}-10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}-\beta ^{5}}
Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
6
=
α
6
+
6
α
5
β
+
15
α
4
β
2
+
20
α
3
β
3
+
15
α
2
β
4
+
6
α
β
5
+
β
6
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}+6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}+20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}+6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}}
Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
6
=
α
6
−
6
α
5
β
+
15
α
4
β
2
−
20
α
3
β
3
+
15
α
2
β
4
−
6
α
β
5
+
β
6
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}-6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}-20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}-6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}}
Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ . Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.
Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων[ επεξεργασία ]
α
2
−
β
2
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
{\displaystyle \alpha ^{2}-\beta ^{2}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.
α
3
−
β
3
=
(
α
−
β
)
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{3}-\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.
α
3
+
β
3
=
(
α
+
β
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.
α
4
−
β
4
=
(
α
−
β
)
(
α
+
β
)
(
α
2
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}-\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.
α
5
−
β
5
=
(
α
−
β
)
(
α
4
+
α
3
β
+
α
2
β
2
+
α
β
3
+
β
4
)
{\displaystyle \alpha ^{5}-\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}+\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.
α
5
+
β
5
=
(
α
+
β
)
(
α
4
−
α
3
β
+
α
2
β
2
−
α
β
3
+
β
4
)
{\displaystyle \alpha ^{5}+\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}-\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.
α
6
−
β
6
=
(
α
−
β
)
(
α
+
β
)
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{6}-\beta ^{6}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.
Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων[ επεξεργασία ]
Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για
n
∈
N
∗
=
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
α
2
n
+
1
−
β
2
n
+
1
=
(
α
−
β
)
∑
i
=
0
2
n
α
2
n
−
i
β
i
=
(
α
−
β
)
∏
i
=
1
n
(
α
2
−
2
α
β
σ
υ
ν
2
i
π
2
n
+
1
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n+1}-\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
+
1
+
β
2
n
+
1
=
(
α
+
β
)
∑
i
=
0
2
n
(
−
1
)
i
α
2
n
−
i
β
i
=
(
α
+
β
)
∏
i
=
1
n
(
α
2
+
2
α
β
σ
υ
ν
2
i
π
2
n
+
1
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n+1}+\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
−
β
2
n
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
∑
i
=
0
n
α
n
−
1
−
i
β
i
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
α
n
−
1
−
i
β
i
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
α
2
−
2
α
β
σ
υ
ν
i
π
n
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n}-\beta ^{2n}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n-1}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {i\pi }{n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
+
β
2
n
=
∏
i
=
1
n
(
α
2
+
2
α
β
σ
υ
ν
(
2
i
−
1
)
π
2
n
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n}+\beta ^{2n}=\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {{\begin{pmatrix}2i-1\end{pmatrix}}\pi }{2n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
4
+
α
2
β
2
+
β
4
=
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}+\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
4
+
4
β
4
=
(
α
2
+
2
α
β
+
2
β
2
)
(
α
2
−
2
α
β
+
2
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}+4\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές[ επεξεργασία ]
Για
n
∈
N
∗
=
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
ορίζεται:
n
!
=
∏
i
=
1
n
i
{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i}
.
Για n = 0 ορίζεται:
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
.
Για
n
∈
N
∗
=
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
είναι:
(
α
+
β
)
n
=
α
n
+
∑
i
=
1
n
n
!
i
!
(
n
−
i
)
!
α
n
−
i
β
i
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{n}=\alpha ^{n}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {n!}{i!{\begin{pmatrix}n-i\end{pmatrix}}!}}\alpha ^{n-i}\beta ^{i}}
Για
n
∈
N
∗
=
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
και
∀
i
∈
{
1
,
2
,
3...
n
}
⊂
N
∗
{\displaystyle \forall i\in {\begin{Bmatrix}1,2,3...n\end{Bmatrix}}\subset \mathbb {N} ^{*}}
ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:
(
n
i
)
=
n
!
i
!
(
n
−
i
)
!
=
(
n
n
−
i
)
{\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!{\begin{pmatrix}n-i\end{pmatrix}}!}}={n \choose n-i}}
Ακόμη ορίζεται:
(
n
0
)
=
1
{\displaystyle {n \choose 0}=1}
(
n
i
)
+
(
n
i
+
1
)
=
(
n
+
1
i
+
1
)
{\displaystyle {n \choose i}+{n \choose i+1}={n+1 \choose i+1}}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}^{i}{n \choose i}=0}
∑
i
=
0
m
(
n
+
i
n
)
=
(
n
+
m
+
1
n
+
1
)
,
m
∈
N
{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{n+i \choose n}={n+m+1 \choose n+1},\;m\in \mathbb {N} }
∑
i
=
0
k
(
n
2
i
)
=
2
n
−
1
,
k
=
[
n
2
]
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose 2i}=2^{n-1},\;k={\begin{bmatrix}{\frac {n}{2}}\end{bmatrix}}}
∑
i
=
0
k
(
n
2
i
+
1
)
=
2
n
−
1
,
k
=
[
n
−
1
2
]
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose 2i+1}=2^{n-1},\;k={\begin{bmatrix}{\frac {n-1}{2}}\end{bmatrix}}}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
2
=
(
2
n
n
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}
∑
i
=
0
p
(
m
i
)
(
n
p
−
i
)
=
(
m
+
n
p
)
,
m
∈
N
,
p
≤
m
i
n
{
m
,
n
}
∧
p
∈
N
{\displaystyle \sum _{i=0}^{p}{m \choose i}{n \choose p-i}={m+n \choose p},\;m\in \mathbb {N} ,\;p\leq min{\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}}\wedge p\in \mathbb {N} }
∑
i
=
1
n
i
(
n
i
)
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}}
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
+
1
i
(
n
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}^{i+1}i{n \choose i}=0}
(
p
∑
i
=
1
α
i
)
n
=
∑
i
=
1
p
n
!
p
∏
i
=
1
n
i
!
∏
i
=
1
p
α
i
n
i
,
p
∈
N
∗
,
n
i
∈
N
∗
∧
∑
i
=
1
p
n
i
=
n
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{matrix}p\\\sum \\i=1\end{matrix}}\alpha _{i}\end{pmatrix}}^{n}=\sum _{i=1}^{p}{\frac {n!}{{\begin{matrix}p\\\prod \\i=1\end{matrix}}n_{i}!}}\prod _{i=1}^{p}\alpha _{i}^{n_{i}},\;p\in \mathbb {N} ^{*},\;n_{i}\in \mathbb {N} ^{*}\wedge \sum _{i=1}^{p}n_{i}=n}
Περίμετρος:
Π
=
α
+
β
+
γ
{\displaystyle \Pi =\alpha +\beta +\gamma }
Εμβαδό:
E
=
α
υ
2
=
α
β
η
μ
θ
2
=
s
(
s
−
α
)
(
s
−
β
)
(
s
−
γ
)
{\displaystyle E={\frac {\alpha \upsilon }{2}}={\frac {\alpha \beta \eta \mu \theta }{2}}={\sqrt {s(s-\alpha )(s-\beta )(s-\gamma )}}}
, όπου
s
=
Π
2
=
α
+
β
+
γ
2
{\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}
(ημιπερίμετρος)
Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου είναι
θ
=
90
o
⇒
η
μ
θ
=
1
{\displaystyle \theta =90^{o}\Rightarrow \eta \mu \theta =1}
. Άρα: β = υ και:
E
=
α
β
2
{\displaystyle E={\frac {\alpha \beta }{2}}}
.
Στην περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου είναι:
α
=
β
=
γ
{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }
,
θ
=
60
o
{\displaystyle \theta =60^{o}}
και
s
=
3
2
α
{\displaystyle s={\frac {3}{2}}\alpha }
. Οπότε:
Περίμετρος:
Π
=
3
α
{\displaystyle \Pi =3\alpha }
Εμβαδό:
E
=
α
υ
2
=
α
2
η
μ
60
o
2
=
3
4
α
2
{\displaystyle E={\frac {\alpha \upsilon }{2}}={\frac {\alpha ^{2}\eta \mu 60^{o}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}}
Το ίδιο προκύπτει και από τον άλλο τύπο:
E
=
3
2
α
(
3
2
α
−
α
)
3
=
3
2
α
(
1
2
α
)
3
=
3
α
4
2
4
=
3
4
α
2
{\displaystyle E={\sqrt {{\frac {3}{2}}\alpha {\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}\alpha -\alpha \end{pmatrix}}^{3}}}={\sqrt {{\frac {3}{2}}\alpha {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\alpha \end{pmatrix}}^{3}}}={\sqrt {\frac {3\alpha ^{4}}{2^{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}}
Περίμετρος:
Π
=
2
(
α
+
β
)
{\displaystyle \Pi =2(\alpha +\beta )}
Εμβαδό:
E
=
α
β
{\displaystyle E=\alpha \beta }
Περίμετρος:
Π
=
2
(
α
+
β
)
{\displaystyle \Pi =2(\alpha +\beta )}
Εμβαδό:
E
=
β
υ
=
α
β
η
μ
θ
{\displaystyle E=\beta \upsilon =\alpha \beta \eta \mu \theta }
Περίμετρος:
Π
=
4
α
{\displaystyle \Pi =4\alpha }
Εμβαδό:
E
=
δ
1
δ
2
2
{\displaystyle E={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2}}}
Περίμετρος:
Π
=
4
α
{\displaystyle \Pi =4\alpha }
Εμβαδό:
E
=
α
2
{\displaystyle E=\alpha ^{2}}
Περίμετρος:
Π
=
α
+
β
+
(
1
s
i
n
θ
+
1
s
i
n
ϕ
)
υ
{\displaystyle \Pi =\alpha +\beta +({\frac {1}{sin\theta }}+{\frac {1}{sin\phi }})\upsilon }
Εμβαδό:
E
=
α
+
β
2
υ
{\displaystyle E={\frac {\alpha +\beta }{2}}\upsilon }
1. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές και πλευρά α
Περίμετρος:
Π
=
n
α
{\displaystyle \Pi =n\alpha }
Εμβαδό:
E
=
1
4
n
α
2
c
o
t
π
n
=
1
4
n
α
2
σ
υ
ν
π
n
η
μ
π
n
{\displaystyle E={\frac {1}{4}}n\alpha ^{2}cot{\frac {\pi }{n}}={\frac {1}{4}}n\alpha ^{2}{\frac {\sigma \upsilon \nu {\frac {\pi }{n}}}{\eta \mu {\frac {\pi }{n}}}}}
2. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r
Περίμετρος:
Π
=
2
n
r
s
i
n
π
n
{\displaystyle \Pi =2nrsin{\frac {\pi }{n}}}
Εμβαδό:
E
=
1
2
n
r
2
sin
2
π
n
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}nr^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}
3. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r
Περίμετρος:
Π
=
2
n
r
t
a
n
π
n
{\displaystyle \Pi =2nrtan{\frac {\pi }{n}}}
Εμβαδό:
E
=
1
2
n
r
2
t
a
n
2
π
n
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}nr^{2}tan{\frac {2\pi }{n}}}
1. Κύκλος με ακτίνα r:
Περιφέρεια:
Π
=
2
π
r
{\displaystyle \Pi =2\pi r}
Εμβαδό:
E
=
π
r
2
{\displaystyle E=\pi r^{2}}
2. Τομέας κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):
Μήκος τόξου:
Π
=
r
θ
{\displaystyle \Pi =r\theta }
Εμβαδό:
E
=
1
2
r
2
θ
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }
3. Τμήμα κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):
E
=
1
2
r
2
(
θ
−
s
i
n
θ
)
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -sin\theta )}
4. Κύκλος ακτίνας r εγγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:
r
=
s
(
s
−
α
)
(
s
−
β
)
(
s
−
γ
)
s
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {s(s-\alpha )(s-\beta )(s-\gamma )}}{s}}}
όπου
s
=
Π
2
=
1
2
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )}
5. Κύκλος ακτίνας r περιγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:
r
=
α
β
γ
4
s
(
s
−
α
)
(
s
−
β
)
(
s
−
γ
)
{\displaystyle r={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {s(s-\alpha )(s-\beta )(s-\gamma )}}}}}
όπου
s
=
Π
2
=
1
2
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )}
s
i
n
B
=
η
μ
B
=
y
r
{\displaystyle sinB=\eta \mu B={\frac {y}{r}}}
c
o
s
B
=
σ
υ
ν
B
=
x
r
{\displaystyle cosB=\sigma \upsilon \nu B={\frac {x}{r}}}
t
a
n
B
=
ϵ
ϕ
B
=
y
x
{\displaystyle tanB=\epsilon \phi B={\frac {y}{x}}}
c
o
t
B
=
σ
ϕ
B
=
x
y
{\displaystyle cotB=\sigma \phi B={\frac {x}{y}}}
s
e
c
B
=
r
x
{\displaystyle secB={\frac {r}{x}}}
c
s
c
B
=
r
y
{\displaystyle cscB={\frac {r}{y}}}
t
a
n
B
=
s
i
n
B
c
o
s
B
{\displaystyle tanB={\frac {sinB}{cosB}}}
c
o
t
B
=
1
t
a
n
B
=
c
o
s
B
s
i
n
B
{\displaystyle cotB={\frac {1}{tanB}}={\frac {cosB}{sinB}}}
s
e
c
B
=
1
c
o
s
B
{\displaystyle secB={\frac {1}{cosB}}}
c
s
c
B
=
1
s
i
n
B
{\displaystyle cscB={\frac {1}{sinB}}}
s
i
n
2
B
+
c
o
s
2
B
=
1
{\displaystyle sin^{2}B+cos^{2}B=1}
s
e
c
2
B
−
t
a
n
2
B
=
1
{\displaystyle sec^{2}B-tan^{2}B=1}
c
s
c
2
B
−
c
o
t
2
B
=
1
{\displaystyle csc^{2}B-cot^{2}B=1}
Τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων διαφόρων γωνιών[ επεξεργασία ]
Β (°)
Β (rad)
sin B
cos B
tan B
cot B
sec B
csc B
0
0
0
1
0
±∞
1
±∞
15
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
30
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
45
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
1
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
60
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
2
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
75
5
π
12
{\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
90
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
1
0
±∞
0
±∞
1
105
7
π
12
{\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
−
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
−
(
2
+
3
)
{\displaystyle -(2+{\sqrt {3}})}
−
(
2
−
3
)
{\displaystyle -(2-{\sqrt {3}})}
−
(
6
+
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
120
2
π
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
-2
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
135
3
π
4
{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
-1
-1
−
2
{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
150
5
π
6
{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
−
1
2
3
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
2
3
3
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
165
11
π
12
{\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
−
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
−
(
2
+
3
)
{\displaystyle -(2+{\sqrt {3}})}
−
(
6
−
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
180
π
0
-1
0
∓
∞
{\displaystyle \mp \infty }
-1
±∞
195
13
π
12
{\displaystyle {\frac {13\pi }{12}}}
−
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
−
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
−
(
6
−
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
−
(
6
+
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
210
7
π
6
{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
1
2
3
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
2
3
3
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
-2
225
5
π
4
{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
1
−
2
{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
−
2
{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
240
4
π
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}
−
1
2
3
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
-2
−
2
3
3
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
255
17
π
12
{\displaystyle {\frac {17\pi }{12}}}
−
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
−
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
−
(
6
+
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
−
(
6
−
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
270
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}
-1
0
±∞
0
∓
∞
{\displaystyle \mp \infty }
-1
285
−
17
π
12
{\displaystyle -{\frac {17\pi }{12}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
−
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
−
(
2
+
3
)
{\displaystyle -(2+{\sqrt {3}})}
−
(
2
−
3
)
{\displaystyle -(2-{\sqrt {3}})}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
−
(
6
−
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
300
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}
−
1
2
3
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
2
−
2
3
3
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
315
7
π
4
{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
-1
-1
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
−
2
{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
330
11
π
6
{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
1
2
3
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
−
2
3
3
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
-2
345
23
π
12
{\displaystyle {\frac {23\pi }{12}}}
−
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
−
(
2
−
3
)
{\displaystyle -(2-{\sqrt {3}})}
−
(
2
+
3
)
{\displaystyle -(2+{\sqrt {3}})}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
−
(
6
+
2
)
{\displaystyle -({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
360
2π
0
1
0
∓
∞
{\displaystyle \mp \infty }
1
∓
∞
{\displaystyle \mp \infty }
Όλες οι γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με διανυσματικές σχέσεις. Το τυπολόγιο αυτό στηρίζεται στις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.
Στην εικόνα εμφανίζονται τα μέτρα των γινομένων ως εμβαδά. Το σχήμα στηρίζεται στις εξής δύο σχέσεις: α ∙β =προββ α ∙β =±προββ α∙β και μέτρο του α xβ ισούται με α∙β∙ημθ=υβ ∙β.
δ =αx +βy +γz κατά μοναδικό τρόπο
δ γ =προβγ δ γ
άρα δ γ =0 <=> δ και γ κάθετα μεταξύ τους
det|δ ,γ |=|δ xγ | είναι κατά απόλυτη τιμή το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλόγραμμου που ορίζουν τα διανύσματα δ και γ
άρα det|δ ,γ |=|δ xγ |=0 <=> δ //γ <=> υπάρχει πραγματικός λ τέτοιος, ώστε γ =λδ
|δ |2 =α2 +β2 +γ2
|δ | δεν είναι αρνητικός
Το συν άπειρο μπορεί να διανοηθεί ως ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός , ή για την ακρίβεια ως άπειρο εκλαμβάνουμε συνήθως ένα μέγεθος που τείνει στο συν ή πλην άπειρο. Οι ιδιότητες του μεγέθους που τείνει στο συν ή πλην άπειρο με τις διάφορες πράξεις ορίζονται με βάση την κοινή λογική , όταν αυτό είναι εφικτό. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα τα άπειρα μελετώνται με όρια , ενώ θεωρούνται προσεγγίσεις και όχι αριθμοί. Έτσι, ισχύουν οι εξής ιδιότητες (θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός ):
+
∞
+
θ
=
+
∞
{\displaystyle +\infty +\theta =+\infty }
−
∞
+
θ
=
−
∞
{\displaystyle -\infty +\theta =-\infty }
+
∞
−
θ
=
+
∞
{\displaystyle +\infty -\theta =+\infty }
−
∞
−
θ
=
−
∞
{\displaystyle -\infty -\theta =-\infty }
[ 1]
+
∞
⋅
θ
=
+
∞
{\displaystyle +\infty \cdot \theta =+\infty }
−
∞
⋅
θ
=
−
∞
{\displaystyle -\infty \cdot \theta =-\infty }
−
∞
⋅
(
−
θ
)
=
+
∞
{\displaystyle -\infty \cdot (-\theta )=+\infty }
+
∞
⋅
(
−
θ
)
=
−
∞
{\displaystyle +\infty \cdot (-\theta )=-\infty }
Παρομοίως με τη διαίρεση (γιατί 1/θ=η, όπου η ένας άλλος θετικός πραγματικός αριθμός)
θ
+
∞
=
+
∞
{\displaystyle \theta ^{+\infty }=+\infty }
θ
−
∞
=
0
+
{\displaystyle \theta ^{-\infty }=0^{+}}
(
+
∞
)
θ
=
+
∞
{\displaystyle (+{\infty })^{\theta }=+\infty }
(
+
∞
)
+
∞
=
+
∞
{\displaystyle ({+\infty })^{+\infty }=+\infty }
+
∞
ν
=
+
∞
{\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{+\infty }}=+\infty }
, όπου ν φυσικός αριθμός
θ
+
∞
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{+\infty }]{\theta }}=1}
l
o
g
θ
(
+
∞
)
=
+
∞
,
α
ν
θ
>
1
,
−
∞
,
α
ν
0
<
θ
<
1
{\displaystyle log_{\theta }(+\infty )=+\infty ,\quad \alpha \nu \quad \theta >1,\quad -\infty ,\alpha \nu \quad 0<\theta <1}
l
o
g
+
∞
(
θ
)
=
0
{\displaystyle log_{+\infty }(\theta )=0}
0+ , αν θ>1 και 0- αν 0<α<1
+
∞
±
0
=
+
∞
{\displaystyle +\infty \pm 0=+\infty }
−
∞
±
0
=
−
∞
{\displaystyle -\infty \pm 0=-\infty }
1
/
0
+
=
+
∞
{\displaystyle 1/0^{+}=+\infty }
1
/
0
−
=
−
∞
{\displaystyle 1/0^{-}=-\infty }
1
/
∞
=
0
{\displaystyle 1/\infty =0}
Οι σειρές Taylor ορίζονται σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για τις σειρές Maclaurin χρειάζεται επιπλέον να ορίζονται στο 0.
Γενικός τύπος:
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
1
+
f
″
(
0
)
x
2
2
!
+
f
3
(
0
)
x
3
3
!
+
.
.
.
+
f
k
(
0
)
x
k
k
!
+
.
.
.
=
∑
n
=
1
∞
(
f
(
n
)
(
0
)
x
n
n
!
)
+
1
{\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0){\frac {x}{1}}+f''(0){\frac {x^{2}}{2!}}+f^{3}(0){\frac {x^{3}}{3!}}+...+f^{k}(0){\frac {x^{k}}{k!}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }(f^{(n)}(0){\frac {x^{n}}{n!}})+1}
Οι σειρά Maclaurin κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με την ίδια τη συνάρτηση.
a
x
=
1
+
l
n
a
x
1
+
l
n
a
2
x
2
2
!
+
l
n
a
3
x
3
3
!
+
.
.
.
+
l
n
a
k
x
k
k
!
+
.
.
.
=
∑
n
=
1
∞
(
l
n
a
n
x
n
n
!
)
+
1
{\displaystyle a^{x}=1+lna{\frac {x}{1}}+lna^{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+lna^{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+...+lna^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }(lna^{n}{\frac {x^{n}}{n!}})+1}
s
i
n
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
.
.
.
{\displaystyle sinx=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}
Βασικό τυπολόγιο παραγώγων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής[ επεξεργασία ]
Οι παρακάτω τύποι ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τα σύμβολα έχουν νόημα, δηλαδή αν υπάρχουν οι παράγωγοι που εμφανίζονται. Το x είναι η ανεξαρτητη μεταβλητή και a είναι μια μη μηδενική σταθερά.
Βασικές παράγωγοι ως προς x:
d
a
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {da}{dx}}=0}
d
ln
x
d
x
=
1
x
{\displaystyle {\frac {d\ln {x}}{dx}}={\frac {1}{x}}}
d
x
d
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dx}}=1}
d
sin
x
d
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {d\sin {x}}{dx}}=\cos {x}}
d
x
a
d
x
=
a
⋅
x
a
−
1
{\displaystyle {\frac {dx^{a}}{dx}}=a\cdot \;x^{a-1}}
(εννοείται x
≠
{\displaystyle \neq }
0,1)
d
cos
x
d
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {d\cos {x}}{dx}}=-\sin {x}}
d
e
x
d
x
=
e
x
{\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}}
d
t
a
n
x
d
x
=
1
c
o
s
2
x
{\displaystyle {\frac {dtanx}{dx}}={\frac {1}{cos^{2}x}}}
d
(
a
f
(
x
)
)
d
x
=
a
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(af(x))}{dx}}=a{\frac {df(x)}{dx}}}
d
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
=
d
f
(
x
)
d
x
+
d
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}
1
d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
d
x
=
d
f
(
x
)
d
x
⋅
g
(
x
)
+
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(f(x)\cdot \;g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\cdot \;g(x)+f(x){\frac {dg(x)}{dx}}}
d
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
{\displaystyle {\frac {d{\frac {f(x)}{g(x)}}}{dx}}=}
d
f
(
x
)
d
x
⋅
g
(
x
)
−
f
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
g
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {{\frac {df(x)}{dx}}\cdot g(x)-f(x)\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}}{g^{2}(x)}}}
2
d
(
g
(
f
(
x
)
)
)
d
x
=
d
g
(
f
(
x
)
)
d
f
(
x
)
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(g(f(x)))}{dx}}={\frac {dg(f(x))}{d\mathbf {f(x)} }}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}}
(κανόνας της αλυσίδας)3
1 :Ισχύει επαγωγικά ο τύπος και για περισσότερους όρους της πρόσθεσης, δηλαδή
d
(
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
+
…
+
f
ν
(
x
)
)
d
x
=
d
f
1
(
x
)
d
x
+
d
f
2
(
x
)
d
x
+
…
+
d
f
ν
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots +f_{\nu }(x))}{dx}}={\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+\ldots +{\frac {df_{\nu }(x)}{dx}}}
2 : Ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι g(x) διάφορο του μηδενός κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου.
3 : Ισχύει μόνο αν η f δε γίνεται κάπου σταθερή (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μαθηματικών της Γ΄Λυκείου). Αν στην περιοχή εύρεσης της παραγώου η f είναι σταθερή, τότε η παράγωγος ισούται με 0 κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου. Εξ' άλλου η g δε μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή μόνο και μόνο αν df(x)=0 σε αυτήν την περιοχή, άρα δε μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας.
d
α
x
d
x
=
d
(
e
l
n
a
)
x
d
x
=
d
e
l
n
a
⋅
x
d
x
=
d
e
l
n
a
⋅
x
d
(
l
n
a
⋅
x
)
d
(
l
n
a
⋅
x
)
d
x
=
e
l
n
a
⋅
x
⋅
l
n
a
=
l
n
a
⋅
a
x
{\displaystyle {\frac {d\alpha ^{x}}{dx}}={\frac {d(e^{lna})^{x}}{dx}}={\frac {de^{lna\cdot x}}{dx}}={\frac {de^{lna\cdot x}}{d(lna\cdot x)}}{\frac {d(lna\cdot x)}{dx}}=e^{lna\cdot x}\cdot lna=lna\cdot a^{x}}
d
l
n
(
a
x
)
d
x
=
d
l
n
(
a
x
)
d
a
x
⋅
d
(
a
x
)
d
x
=
1
(
a
x
)
⋅
a
⋅
d
x
d
x
=
1
x
{\displaystyle {\frac {dln(ax)}{dx}}={\frac {dln(ax)}{dax}}\cdot {\frac {d(ax)}{dx}}={\frac {1}{(ax)}}\cdot a\cdot {\frac {dx}{dx}}={\frac {1}{x}}}
d
sin
(
a
⋅
x
)
d
x
=
d
sin
(
a
⋅
x
)
d
(
a
x
)
⋅
d
a
x
d
x
=
cos
(
a
⋅
x
)
⋅
a
⋅
d
x
d
x
=
a
cos
(
a
⋅
x
)
{\displaystyle {\frac {d\sin({a\cdot x})}{dx}}={\frac {d\sin({a\cdot x})}{d(ax)}}\cdot {\frac {dax}{dx}}=\cos {(a\cdot x)}\cdot a\cdot {\frac {dx}{dx}}=a\cos {(a\cdot x)}}
*Προσοχή : Οι δύο παραπάνω τύποι ισχύουν, γιατί η συνάρτηση f(x)=ax δεν είναι σταθερή σε κανένα σημείο, ως γνήσια μονότονη.
d
(
9
x
3
−
2
x
2
+
x
−
10
)
d
x
=
d
(
9
x
3
)
d
x
+
d
(
−
2
x
2
)
d
x
+
d
x
d
x
+
d
(
−
10
)
d
x
=
9
d
x
3
d
x
−
2
d
x
2
d
x
+
1
+
0
=
9
⋅
3
x
2
−
2
⋅
2
x
+
1
=
27
x
2
−
4
x
+
1
{\displaystyle {\frac {d(9x^{3}-2x^{2}+x-10)}{dx}}={\frac {d(9x^{3})}{dx}}+{\frac {d(-2x^{2})}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d(-10)}{dx}}=9{\frac {dx^{3}}{dx}}-2{\frac {dx^{2}}{dx}}+1+0=9\cdot 3x^{2}-2\cdot 2x+1=27x^{2}-4x+1}
↑ Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνουν τη φιλοσοφική άποψη ότι το άπειρο είναι αμετάβλητο .