Μαθηματικά για όλους/Γενικό τυπολόγιο

Από Βικιβιβλία
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Περιεχόμενα

Μαθηματικές σταθερές[επεξεργασία]

\pi = \sigma \upsilon \nu^{-1} \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix} \simeq 3,141592653589793238462643...

e = \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{n} \end{pmatrix}^n \simeq 2,718281828459045235360287...

  • e: βάση των φυσικών λογαρίθμων.

 \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \simeq 1,4142135623730950488...

 \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \simeq 1,7320508075688772935...

 \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \simeq 2,2360679774997896964...

 \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \simeq 1,259921050...

 \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \simeq 1,442249570...

 \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \simeq 1,148698355...

 \sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}} \simeq 1,245730940...

e^\pi \simeq 23,140692632779269006...

\pi^\mbox{e} \simeq 22,45915771836104547342715...

e^\mbox{e} \simeq 15,154262241479264190...

 log_{10}2 = \frac{ln2}{ln10} \simeq 0,3010299956639811952137389...

 log_{10}3 = \frac{ln3}{ln10} \simeq 0,4771212547196624372950279...

 log_{10}e = \frac{lne}{ln10} = \frac{1}{ln10} \simeq 0,43429448190325182765...

 log_{10}\pi = \frac{ln \pi}{ln10} \simeq 0,4971498726941338543512683...

 ln10  \simeq 2,302585092994045684017991...

ln2  \simeq 0,693147180559945309417232...

ln3  \simeq 1,098612288668109691395245...

\gamma = \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} \begin{matrix} n \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} \frac{1}{n} - lnn \end{pmatrix} \simeq 0,577215664901532860606512...

  • γ: σταθερά Euler.

e^\gamma \simeq 1,7810724179901979852...

 \sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}} \simeq 1,6487212707001281468...

\sqrt{\pi} = \pi^{\frac{1}{2}} = \Gamma \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \end{pmatrix} \simeq 1,772453850905516027298167...

\Gamma \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} \simeq 2,678938534707748...

\Gamma \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \end{pmatrix} \simeq 3,625609908221908...

1 \; rad = \frac{180^o}{\pi} \simeq 57,29577951308232...^o

  • rad = ακτίνιο.

1^o = \frac{\pi}{180} \; rad \simeq 0,0174532925199432957... \; rad

Αξιοσημείωτες ταυτότητες[επεξεργασία]

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων[επεξεργασία]

Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για  2  \le n  \le  6.

 \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^2 = \alpha^2 + 2 \alpha \beta + \beta^2

  • Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^2 = \alpha^2 - 2 \alpha \beta + \beta^2

  • Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^3 = \alpha^3 + 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 + \beta^3

  • Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^3 = \alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 - \beta^3

  • Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^4 = \alpha^4 + 4 \alpha^3 \beta + 6 \alpha^2 \beta^2 + 4 \alpha \beta^3 + \beta^4

  • Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^4 = \alpha^4 - 4 \alpha^3 \beta + 6 \alpha^2 \beta^2 - 4 \alpha \beta^3 + \beta^4

  • Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^5 = \alpha^5 + 5 \alpha^4 \beta + 10 \alpha^3 \beta^2 + 10 \alpha^2 \beta^3 + 5 \alpha \beta^4 + \beta^5

  • Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^5 = \alpha^5 - 5 \alpha^4 \beta + 10 \alpha^3 \beta^2 - 10 \alpha^2 \beta^3 + 5 \alpha \beta^4 - \beta^5

  • Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^6 = \alpha^6 + 6 \alpha^5 \beta + 15 \alpha^4 \beta^2 + 20 \alpha^3 \beta^3 + 15 \alpha^2 \beta^4 + 6 \alpha \beta^5 + \beta^6

  • Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

\begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}^6 = \alpha^6 - 6 \alpha^5 \beta + 15 \alpha^4 \beta^2 - 20 \alpha^3 \beta^3 + 15 \alpha^2 \beta^4 - 6 \alpha \beta^5 + \beta^6

  • Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

Треугольник Паскаля.svg

Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ. Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.

Παραγοντοποιήσεις[επεξεργασία]

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων[επεξεργασία]

\alpha^2 - \beta^2 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.

\alpha^3 - \beta^3 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + 
\alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.

\alpha^3 + \beta^3 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 - 
\alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.

\alpha^4 - \beta^4 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + \beta^2 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.

\alpha^5 - \beta^5 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^4 + \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 + \alpha \beta^3 + \beta^4 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.

\alpha^5 + \beta^5 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^4 - \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 - \alpha \beta^3 + \beta^4 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.

\alpha^6 - \beta^6 = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων[επεξεργασία]

  • Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}

 \alpha^{2n+1} - \beta^{2n+1} =  \begin{pmatrix} \alpha - \beta  \end{pmatrix}  \sum_{i=0}^{2n} \alpha^{2n-i} \beta^i =  \begin{pmatrix} \alpha - \beta  \end{pmatrix} \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{2i \pi}{2n+1} + \beta^2 \end{pmatrix}

 \alpha^{2n+1} + \beta^{2n+1} =  \begin{pmatrix} \alpha + \beta  \end{pmatrix}  \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i \alpha^{2n-i} \beta^i =  \begin{pmatrix} \alpha + \beta  \end{pmatrix} \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{2i \pi}{2n+1} + \beta^2 \end{pmatrix}

 \alpha^{2n} - \beta^{2n} = \begin{pmatrix} \alpha + \beta  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta  \end{pmatrix} \sum_{i=0}^n \alpha^{n-1-i} \beta^i \sum_{i=0}^n (-1)^i \alpha^{n-1-i} \beta^i = \begin{pmatrix} \alpha + \beta  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha - \beta  \end{pmatrix} \prod_{i=1}^{n-1}  \begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{i \pi}{n} + \beta^2 \end{pmatrix}

 \alpha^{2n} + \beta^{2n} = \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta \sigma \upsilon \nu \frac{\begin{pmatrix} 2i-1 \end{pmatrix} \pi}{2n} + \beta^2 \end{pmatrix}

Άλλες παραγοντοποιήσεις[επεξεργασία]

\alpha^4 + \alpha^2 \beta^2 + \beta^4  =  \begin{pmatrix} \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2 \end{pmatrix}

 \alpha^4 + 4 \beta^4  =  \begin{pmatrix} \alpha^2 + 2 \alpha \beta + 2 \beta^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha^2 - 2 \alpha \beta + 2 \beta^2 \end{pmatrix}

Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές[επεξεργασία]

Το παραγοντικό[επεξεργασία]

Για n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} ορίζεται:

n! = \prod_{i=1}^n i .

Για n = 0 ορίζεται:

0! = 1 .

Ο τύπος του διωνύμου[επεξεργασία]

Για n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} είναι:

\begin{pmatrix} \alpha + \beta \end{pmatrix}^n = \alpha^n + \sum_{i=1}^n \frac{n!}{i! \begin{pmatrix} n-i \end{pmatrix} !} \alpha^{n-i} \beta^i

Διωνυμικοί συντελεστές[επεξεργασία]

Για n \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} - \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} και \forall i \in  \begin{Bmatrix} 1,2,3... n \end{Bmatrix} \subset \mathbb{N}^* ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:

 {n \choose i} =\frac{n!}{i! \begin{pmatrix} n-i \end{pmatrix} !} = {n \choose n-i}

Ακόμη ορίζεται:

{n \choose 0} = 1

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών[επεξεργασία]

 {n \choose i} + {n \choose i+1} = {n+1 \choose i+1}

 \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n

 \sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}^i {n \choose i} = 0

 \sum_{i=0}^m {n+i \choose n} = {n+m+1 \choose n+1} ,\; m \in \mathbb{N}

 \sum_{i=0}^k {n \choose 2i} = 2^{n-1},\; k = \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}

 \sum_{i=0}^k {n \choose 2i+1} = 2^{n-1},\; k = \begin{bmatrix} \frac{n-1}{2} \end{bmatrix}

 \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n}

  \sum_{i=0}^p {m \choose i}{n \choose p-i} = {m+n \choose p},\; m \in \mathbb{N},\; p \le min \begin{Bmatrix} m,n \end{Bmatrix}  \wedge  p \in \mathbb{N}

 \sum_{i=1}^n i {n \choose i} = n2^{n-1}

 \sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}^{i+1} i {n \choose i} = 0

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων[επεξεργασία]

 \begin{pmatrix} \begin{matrix} p \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} \alpha_i \end{pmatrix}^n = \sum_{i=1}^p \frac{n!}{\begin{matrix} p \\ \prod \\ i=1 \end{matrix} n_i!} \prod_{i=1}^p \alpha_i^{n_i}, \; p \in \mathbb{N}^*, \; n_i \in \mathbb{N}^*  \wedge  \sum_{i=1}^p n_i = n

Τύποι Κλασικής Γεωμετρίας[επεξεργασία]

Γεωμετρικά σχήματα[επεξεργασία]

Τρίγωνο[επεξεργασία]

TriangleMT1.png TriangleMT2.png TriangleMT3.png TriangleMT4.png

Περίμετρος:

 \Pi = \alpha + \beta + \gamma

Εμβαδό:

E = \frac{\alpha \upsilon}{2} = \frac{\alpha \beta \eta \mu \theta}{2} = \sqrt{s (s - \alpha)(s - \beta) (s - \gamma)} , όπου s = \frac{\Pi}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2} (ημιπερίμετρος)

  • Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου είναι \theta = 90^o \Rightarrow \eta \mu \theta = 1. Άρα: β = υ και:

E = \frac{\alpha \beta}{2} .

  • Στην περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου είναι: \alpha = \beta = \gamma , \theta = 60^o και  s = \frac{3}{2} \alpha . Οπότε:

Περίμετρος:

\Pi = 3 \alpha

Εμβαδό:

E = \frac{\alpha \upsilon}{2} = \frac{\alpha^2 \eta \mu 60^o}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \alpha^2

Το ίδιο προκύπτει και από τον άλλο τύπο:

E = \sqrt{ \frac{3}{2} \alpha  \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \alpha  - \alpha  \end{pmatrix}^3} = \sqrt{ \frac{3}{2} \alpha  \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \alpha \end{pmatrix}^3} = \sqrt{\frac{3 \alpha^4}{2^4}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \alpha^2

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο[επεξεργασία]

RectangleMT.png

Περίμετρος:

 \Pi = 2 (\alpha + \beta)

Εμβαδό:

 E = \alpha \beta

Πλάγιο παραλληλόγραμμο[επεξεργασία]

PargrammeMT.png

Περίμετρος:

 \Pi = 2 (\alpha + \beta)

Εμβαδό:

E = \beta \upsilon = \alpha \beta \eta \mu \theta

Ρόμβος[επεξεργασία]

Περίμετρος:

\Pi = 4\alpha

Εμβαδό:

 E = \frac{\delta_1 \delta_2}{2}

Τετράγωνο[επεξεργασία]

Περίμετρος:

\Pi = 4\alpha

Εμβαδό:

E = \alpha^2

Τραπέζιο[επεξεργασία]

Περίμετρος:

\Pi = \alpha + \beta + (\frac{1}{sin \theta} + \frac{1}{sin \phi}) \upsilon

Εμβαδό:

E = \frac{\alpha + \beta}{2} \upsilon

Κανονικό πολύγωνο[επεξεργασία]

1. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές και πλευρά α

Περίμετρος:


\Pi = n \alpha

Εμβαδό:


E = \frac{1}{4} n \alpha^2 cot \frac{\pi}{n} =  \frac{1}{4} n \alpha^2 \frac{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{n}}{\eta \mu \frac{\pi}{n}}

2. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r

Περίμετρος:


\Pi = 2nr sin \frac{\pi}{n}

Εμβαδό:


E = \frac{1}{2} nr^2 \sin \frac{2\pi}{n}

3. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r

Περίμετρος:


\Pi = 2nr tan \frac{\pi}{n}

Εμβαδό:


E = \frac{1}{2} nr^2 tan \frac{2\pi}{n}

Κύκλος[επεξεργασία]

1. Κύκλος με ακτίνα r:

Περιφέρεια:


\Pi = 2 \pi r

Εμβαδό:


E = \pi r^2

2. Τομέας κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):

Μήκος τόξου:


\Pi = r \theta

Εμβαδό:


E = \frac{1}{2} r^2 \theta

3. Τμήμα κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):


E = \frac{1}{2} r^2 (\theta - sin \theta)

4. Κύκλος ακτίνας r εγγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:


r = \frac{ \sqrt{s (s - \alpha) (s - \beta) (s - \gamma)}}{s}
όπου s = \frac{\Pi}{2} = \frac{1}{2} (\alpha + \beta + \gamma)

5. Κύκλος ακτίνας r περιγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:


r = \frac{\alpha \beta \gamma}{4\sqrt{s (s - \alpha) (s - \beta)(s - \gamma)}}
όπου s = \frac{\Pi}{2} = \frac{1}{2} (\alpha + \beta + \gamma)

Τριγωνομετρικοί τύποι[επεξεργασία]

  • Ημίτονο της Β:

sin B = \eta \mu B = \frac{y}{r}

  • Συνημίτονο της Β:

cos B = \sigma \upsilon \nu B = \frac{x}{r}

  • Εφαπτομένη της Β:

tan B = \epsilon \phi B = \frac{y}{x}

  • Συνεφαπτομένη της Β:

cot B = \sigma \phi B = \frac{x}{y}

  • Τέμνουσα της Β:

sec B =  \frac{r}{x}

  • Συντέμνουσα της Β:

csc B =  \frac{r}{y}

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών[επεξεργασία]

 tan B = \frac{sin B}{cos B}

 cot B = \frac{1}{tan B} = \frac{cos B}{sin B}

 sec B = \frac{1}{cos B}

 csc B = \frac{1}{sin B}

 sin^2 B + cos^2 B = 1

 sec^2 B - tan^2 B = 1

 csc^2 B - cot^2 B = 1

Τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων διαφόρων γωνιών[επεξεργασία]

Β (°) Β (rad) sin B cos B tan B cot B sec B csc B
0 0 0 1 0 ±∞ 1 ±∞
15 \frac{\pi}{12} \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) 2 - \sqrt{3} 2 + \sqrt{3} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2}
30 \frac{\pi}{6} \frac{1}{2} \frac{1}{2}\sqrt{3}  \frac{1}{3}\sqrt{3} \sqrt{3} \frac{2}{3}\sqrt{3} 2
45 \frac{\pi}{4} \frac{1}{2}\sqrt{2} \frac{1}{2}\sqrt{2} 1 1 \sqrt{2} \sqrt{2}
60 \frac{\pi}{3} \frac{1}{2}\sqrt{3} \frac{1}{2} \sqrt{3}  \frac{1}{3}\sqrt{3} 2 \frac{2}{3}\sqrt{3}
75 \frac{5\pi}{12} \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) 2 + \sqrt{3} 2 - \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2}
90 \frac{\pi}{2} 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
105 \frac{7\pi}{12} \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) -\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) -(2 + \sqrt{3}) -(2 - \sqrt{3}) -(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{6} - \sqrt{2}
120 \frac{2\pi}{3} \frac{1}{2}\sqrt{3} -\frac{1}{2} -\sqrt{3}  -\frac{1}{3}\sqrt{3} -2 \frac{2}{3}\sqrt{3}
135 \frac{3\pi}{4} \frac{1}{2}\sqrt{2} -\frac{1}{2}\sqrt{2} -1 -1 -\sqrt{2} \sqrt{2}
150 \frac{5\pi}{6} \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{3}  -\frac{1}{3}\sqrt{3} -\sqrt{3} -\frac{2}{3}\sqrt{3} 2
165 \frac{11\pi}{12} \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) -\frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) 2 - \sqrt{3} -(2 + \sqrt{3}) -(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{6} + \sqrt{2}
180 π 0 -1 0 \mp \infty -1 ±∞
195 \frac{13\pi}{12} -\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) -\frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) 2 - \sqrt{3} 2 + \sqrt{3} -(\sqrt{6} - \sqrt{2}) -(\sqrt{6} + \sqrt{2})
210 \frac{7\pi}{6} -\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{3}  \frac{1}{3}\sqrt{3} -\sqrt{3} -\frac{2}{3}\sqrt{3} -2
225 \frac{5\pi}{4} -\frac{1}{2}\sqrt{2} -\frac{1}{2}\sqrt{2} 1 1 -\sqrt{2} -\sqrt{2}
240 \frac{4\pi}{3} -\frac{1}{2}\sqrt{3} -\frac{1}{2} \sqrt{3}  \frac{1}{3}\sqrt{3} -2 -\frac{2}{3}\sqrt{3}
255 \frac{17\pi}{12} -\frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) -\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) 2 + \sqrt{3} 2 - \sqrt{3} -(\sqrt{6} + \sqrt{2}) -(\sqrt{6} - \sqrt{2})
270 \frac{3\pi}{2} -1 0 ±∞ 0 \mp \infty -1
285 -\frac{17\pi}{12} \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) -\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) -(2 + \sqrt{3}) -(2 - \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} -(\sqrt{6} - \sqrt{2})
300 \frac{5\pi}{3} -\frac{1}{2}\sqrt{3} \frac{1}{2} -\sqrt{3}  -\frac{1}{3}\sqrt{3} 2 -\frac{2}{3}\sqrt{3}
315 \frac{7\pi}{4} -\frac{1}{2}\sqrt{2} \frac{1}{2}\sqrt{2} -1 -1 \sqrt{2} -\sqrt{2}
330 \frac{11\pi}{6} -\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{3}  -\frac{1}{3}\sqrt{3} \sqrt{3} -\frac{2}{3}\sqrt{3} -2
345 \frac{23\pi}{12} -\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) -(2 - \sqrt{3}) -(2 + \sqrt{3}) \sqrt{6} - \sqrt{2} -(\sqrt{6} + \sqrt{2})
360 0 1 0 \mp \infty 1 \mp \infty

Τύποι αναλυτικής γεωμετρίας[επεξεργασία]

Όλες οι γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με διανυσματικές σχέσεις. Το τυπολόγιο αυτό στηρίζεται στις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.

Βασικές σχέσεις[επεξεργασία]

Στην εικόνα εμφανίζονται τα μέτρα των γινομένων ως εμβαδά. Το σχήμα στηρίζεται στις εξής δύο σχέσεις: αβ=προββαβ=±προββα∙β και μέτρο του αxβ ισούται με α∙β∙ημθ=υβ∙β.
  • δxyz κατά μοναδικό τρόπο
  • δ γ=προβγδ γ
  • άρα δ γ=0 <=> δ και γ κάθετα μεταξύ τους
  • det|δ,γ|=|δxγ| είναι κατά απόλυτη τιμή το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλόγραμμου που ορίζουν τα διανύσματα δ και γ
  • άρα det|δ,γ|=|δxγ|=0 <=> δ//γ <=> υπάρχει πραγματικός λ τέτοιος, ώστε γδ
  • |δ|2222
  • |δ| δεν είναι αρνητικός

Πράξεις με το συν-πλην άπειρο[επεξεργασία]

Το συν άπειρο μπορεί να διανοηθεί ως ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός, ή για την ακρίβεια ως άπειρο εκλαμβάνουμε συνήθως ένα μέγεθος που τείνει στο συν ή πλην άπειρο. Οι ιδιότητες του μεγέθους που τείνει στο συν ή πλην άπειρο με τις διάφορες πράξεις ορίζονται με βάση την κοινή λογική, όταν αυτό είναι εφικτό. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα τα άπειρα μελετώνται με όρια, ενώ θεωρούνται προσεγγίσεις και όχι αριθμοί. Έτσι, ισχύουν οι εξής ιδιότητες (θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός):

Πρόσθεση και αφαίρεση[επεξεργασία]

  • +\infty+\theta=+\infty
  • -\infty+\theta=-\infty

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση[επεξεργασία]

  • +\infty \cdot \theta=+\infty
  • -\infty \cdot \theta=-\infty
  • -\infty \cdot (-\theta)=+\infty
  • +\infty \cdot (-\theta)=-\infty

Παρομοίως με τη διαίρεση (γιατί 1/θ=η, όπου η ένας άλλος θετικός πραγματικός αριθμός)

Δυνάμη, ρίζα και λογάριθμος[επεξεργασία]

  • \theta^{+\infty}=+\infty
  • \theta^{-\infty}=0^{+}
  • (+{\infty})^\theta=+\infty
  • ({+\infty})^{+\infty}=+\infty
  • log_{\theta}(+\infty)=+\infty,\quad \alpha\nu\quad \theta>1,\quad -\infty, \alpha\nu\quad 0<\theta<1


  • log_{+\infty}(\theta)=0

0+, αν θ>1 και 0- αν 0<α<1

Πράξεις με το μηδέν και το άπειρο[επεξεργασία]

  • +\infty\pm 0=+\infty
  • -\infty\pm 0=-\infty
  • 1/0^{+}=+\infty
  • 1/0^{-}=-\infty
  • 1/\infty=0

Σειρές Taylor[επεξεργασία]

Οι σειρές Taylor ορίζονται σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για τις σειρές Maclaurin χρειάζεται επιπλέον να ορίζονται στο 0.

Σειρές Maclaurin:[επεξεργασία]

Γενικός τύπος: f(x)=f(0)+f'(0)\frac{x}{1}+f''(0)\frac{x^{2}}{2!}+f^{3}(0)\frac{x^{3}}{3!}+...+f^{k}(0)\frac{x^{k}}{k!}+...=\sum_{n=1}^\infty ( f^{(n)}(0)\frac{x^{n}}{n!})+1

  • Οι σειρά Maclaurin κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με την ίδια τη συνάρτηση.
  • a^{x}=1+lna\frac{x}{1}+lna^{2}\frac{x^{2}}{2!}+lna^{3}\frac{x^{3}}{3!}+...+lna^{k}\frac{x^{k}}{k!}+...=\sum_{n=1}^\infty ( lna^{n}\frac{x^{n}}{n!})+1
  • sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...

Βασικό τυπολόγιο παραγώγων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής[επεξεργασία]

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τα σύμβολα έχουν νόημα, δηλαδή αν υπάρχουν οι παράγωγοι που εμφανίζονται. Το x είναι η ανεξαρτητη μεταβλητή και a είναι μια μη μηδενική σταθερά.

  • Βασικές παράγωγοι ως προς x:
\frac{da}{dx}=0 \frac{d\ln{x}}{dx}=\frac{1}{x}
\frac{dx}{dx}=1 \frac{d \sin{x}}{dx}=\cos{x}
\frac{dx^{a}}{dx}=a \cdot\; x^{a-1} (εννοείται x \neq 0,1) \frac{d\cos{x}}{dx}=- \sin{x}
\frac{de^x}{dx}=e^x \frac{dtanx}{dx}=\frac{1}{cos^2 x}
  • Κανόνες παραγώγισης:
\frac{d(af(x))}{dx} = a \frac{df(x)}{dx}
\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}1
\frac{d (f(x)\cdot\;g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}\cdot\;g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}
\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx}=\frac{\frac{df(x)}{dx}\cdot g(x)-f(x)\cdot\frac{dg(x)}{dx}}{g^{2}(x)}2
\frac{d(g(f(x)))}{dx}=\frac{dg(f(x))}{d\mathbf{f(x)}} \cdot \frac{df(x)}{dx} (κανόνας της αλυσίδας)3
Σημείωση {{{1}}}


1:Ισχύει επαγωγικά ο τύπος και για περισσότερους όρους της πρόσθεσης, δηλαδή \frac{d(f_1(x)+f_2(x)+\ldots+f_\nu(x))}{dx}=\frac{df_1(x)}{dx}+\frac{df_2(x)}{dx}+\ldots+\frac{df_\nu(x)}{dx}
2: Ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι g(x) διάφορο του μηδενός κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου.
3: Ισχύει μόνο αν η f δε γίνεται κάπου σταθερή (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μαθηματικών της Γ΄Λυκείου). Αν στην περιοχή εύρεσης της παραγώου η f είναι σταθερή, τότε η παράγωγος ισούται με 0 κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου. Εξ' άλλου η g δε μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή μόνο και μόνο αν df(x)=0 σε αυτήν την περιοχή, άρα δε μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας.

Παραδείγματα εφαρμογής των κανόνων[επεξεργασία]

  • \frac{d\alpha^x}{dx}=\frac{d(e^{lna})^x}{dx}=\frac{de^{lna\cdot x}}{dx}=\frac{de^{lna\cdot x}}{d(lna\cdot x)}\frac{d(lna\cdot x)}{dx}=e^{lna\cdot x}\cdot lna=lna\cdot a^x
  • \frac{d ln(ax)}{dx}=\frac{dln(ax)}{dax}\cdot\frac{d(ax)}{dx}=\frac{1}{(ax)}\cdot a\cdot\frac{dx}{dx}=\frac{1}{x}
  • \frac{d\sin({a\cdot x})}{dx}=\frac{d\sin({a\cdot x})}{d(ax)}\cdot\frac{dax}{dx}=\cos{(a\cdot x)}\cdot a\cdot\frac{dx}{dx}=a\cos{(a\cdot x)}

*Προσοχή: Οι δύο παραπάνω τύποι ισχύουν, γιατί η συνάρτηση f(x)=ax δεν είναι σταθερή σε κανένα σημείο, ως γνήσια μονότονη.


  • \frac{d(9x^{3}-2x^{2}+x-10)}{dx}=\frac{d(9x^{3})}{dx}+\frac{d(-2x^{2})}{dx}+\frac{dx}{dx}+\frac{d(-10)}{dx}=9\frac{dx^{3}}{dx}-2\frac{dx^{2}}{dx}+1+0=9\cdot3x^{2}-2\cdot2x+1=27x^{2}-4x+1


Σημειώσεις[επεξεργασία]

  1. Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνουν τη φιλοσοφική άποψη ότι το άπειρο είναι αμετάβλητο.