Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016/ΘΕΜΑ Β

Θέμα Β Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},x\in \mathbb {R} .$

Β1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της $f.$ (Μονάδες 6)

Β2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. (Μονάδες 9)

Β3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. (Μονάδες 7)

Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) (Μονάδες 3)

Β1

Πεδίο ορισμού, συνέχεια και παραγωγισιμότητα της $f$

Καθώς $x^{2}+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$, $D_{f}=\mathbb {R}$ H $f$ είναι ρητή συνάρτηση και ως εκ τούτου είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της

Εύρεση της πρώτης παραγώγου της $f$

${\begin{alignedat}{2}f'(x)&=\left({\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}\right)'\\&={\frac {(x^{2})'(x^{2}+1)-x^{2}(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {2x(x^{2}+1)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{alignedat}}$

Μελέτη προσήμου της $f'$

Ο παρονομαστής της $f'$, $(x^{2}+1)^{2}$ είναι θετικός για κάθε $x\in \mathbb {R}$, συνεπώς το πρόσημο της $f'$ εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή της.

$f'(x)>0\Leftrightarrow 2x>0\Leftrightarrow x>0$

$f'(x)=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0$

$f'(x)<0\Leftrightarrow 2x<0\Leftrightarrow x<0$

Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:

$x$	$-\infty$		0	$+\infty$
$f'(x)$	$-$		0	$+$
$f(x)$	$\searrow$			$\nearrow$

Συνεπώς η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(-\infty ,0]$, γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0,+\infty )$ ενώ στο σημείο $x=0$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $f(0)={\frac {0^{2}}{1+0^{2}}}=0$

Β2

Εύρεση της δεύτερης παραγώγου της $f$

${\begin{alignedat}{2}f''(x)&=\left({\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x)'(x^{2}+1)^{2}-2x((x^{2}+1)^{2})'}{((x^{2}+1)^{2})^{2}}}\\&={\frac {2(x^{2}+1)^{2}-2x\cdot 2(x^{2}+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{4}}}\\&={\frac {(x^{2}+1)(2x^{2}+2-8x^{2})}{(x^{2}+1)^{4}}}\\&={\frac {2-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}}\\\end{alignedat}}$

Μελέτη προσήμου της $f''$

Ο παρονομαστής της $f''$, $(x^{2}+1)^{3}$ είναι θετικός για κάθε $x\in \mathbb {R}$, συνεπώς το πρόσημο της $f''$ εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή της.

$f''(x)=0\Leftrightarrow 2-6x^{2}=0\Leftrightarrow x=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}=\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$

$f''(x)>0\Leftrightarrow 2-6x^{2}>0\Leftrightarrow x\in (-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {\sqrt {3}}{3}})$ (τριώνυμο, εντός των ριζών ετερόσημο του $\alpha$, εδώ $\alpha =-6$)

$f''(x)<0\Leftrightarrow 2-6x^{2}<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}})\cup ({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},+\infty )$

Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:

$x$	$-\infty$		$-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$			${\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$	$+\infty$
$f''(x)$	$-$		0	$+$		0	$-$
$f(x)$	$\cap$			$\cup$			$\cap$

Συνεπώς η $f$ είναι κοίλη στα διαστήματα $(-\infty ,-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]$ και $[{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},+\infty )$, και κυρτή στο διάστημα $[-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]$.

Σημεία καμπής παρουσιάζει στο $-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$ και στο ${\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$ τα σημεία $A(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},f(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}))$ και $B({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},f({\tfrac {\sqrt {3}}{3}}))$, δηλαδή τα $A(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {1}{4}})$ και $B({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {1}{4}})$

Β3

Κατακόρυφες ασύμπτωτες

Το πεδίο ορισμού της $f(x)$ είναι το $\mathbb {R}$, συνεπώς η $C_{f}$ δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

Πλάγιες ασύμπτωτες

Έλεγχος στο $-\infty$:

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x(1+x^{2})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{3}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$

και

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }1=1$

Συνεπώς η $C_{f}$ έχει στο $-\infty$ οριζόντια ασύμπτωτη την $y=1$

Έλεγχος στο $+\infty$:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x(1+x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0$

και

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1$

Συνεπώς η $C_{f}$ έχει στο $+\infty$ οριζόντια ασύμπτωτη την $y=1$

Β4

Πίνακας μεταβολών της $f$

$x$	$-\infty$	$-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$		$0$		$-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$		$-\infty$
$f'(x)$	$-$ 0				$+$
$f''(x)$	$-$ 0		$+$ 0				$-$
$f(x)$	$1$ ${\frac {1}{4}}$		$0$		${\frac {1}{4}}$		$1$

Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα σχεδιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: