Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

ΘΕΜΑ Α

Α1 Έστω μία συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $(\alpha ,\beta )$ , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ , στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής.

Αν $f'(x)>0$ στο $(\alpha ,x_{0})$ και $f'(x)<0$ στο $(x_{0},\beta )$ , τότε να αποδείξετε ότι το $f(x_{0})$ είναι τοπικό μέγιστο της $f$ . (Μονάδες 7)

Α2 Πότε δύο συναρτήσεις $f$ , $g$ λέγονται ίσες; (Μονάδες 4)

Α3 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. (Μονάδες 4)

Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση

f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R}

, αν

G

είναι μία παράγουσα της

f

στο

[\alpha ,\beta ]

, τότε το

\int _{\alpha }^{\beta }f(t)dt=G(\alpha )-G(\beta )

.

β)

γ)

δ)

ε)

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},x\in \mathbb {R} .$

Β1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της $f.$ (Μονάδες 6)

Β2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. (Μονάδες 9)

Β3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$ . (Μονάδες 7)

Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ . (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) (Μονάδες 3)

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Να λύσετε την εξίσωση $e^{x^{2}}-x^{2}-1=0,x\in \mathbb {R} .$ (Μονάδες 4)

Γ2. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ που ικανοποιούν την σχέση $f^{2}(x)=(e^{x^{2}}-x^{2}-1)^{2}$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$ και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Γ3. Αν $f(x)=e^{x^{2}}-x^{2}-1,x\in \mathbb {R}$ να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι κυρτή. (Μονάδες 4)

Γ4. Αν $f$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση:

f(|\eta \mu x|+3)-f(|\eta \mu x|)=f(x+3)-f(x)

όταν $x\in [0,+\infty ).$ (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ Δ